Vous avez deux heures...

Excellent!! C'est toi qui l'a faite?

Prochain examen, dissertation:

Sur le fameux forum "expresso", des membres affirment: "Un PID sur un E61 est une hérésie". Vous direz si vous partagez son point de vue dans un développement argumenté, en vous appuyant sur les informations que vous avez lues, sur celle que vous avez trouvées sur les forums anglo-saxons ou inventées personnellement.

Temps: 2h

Ce sont des collègues du collège. Moi je suis au lycée, et je propose un bac blanc sur le thème. Tu viens de fire le sujet de philo ou de français?

T'as aussi celle-ci: j'ai 15 paquets de café en grains. Si j'enlève n'importe lequel d'entre eux, je peux séparer ceux qui restent en 2 tas de 7 paquets, chacun des tas comportant exactement le même nombre de grains. Les sachets ont-ils forcément tous le même nombre de grains?
Manhu

Ben non, pas nécessairement! Dans chaque tas, il peut y avoir des sachets avec 2 grains de plus, et d'autres avec 2 grains de moins par ex... Ou je n'ai pas bien compris ton problème... On peut supposer que la distribution du nombre de grains de café dans chaque paquet est une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance 1660 et d'écart type 400. Calculer la probabilité qu'un paquet donné contienne plus de 2000 grains.

il y a 59 400 000 millions d'habitants en France

Ça fait beaucoup là...

Ce sont les sans papiers, c'est Marine qui le dit!

Pour le formuler autrement, tu as a1,...,a15 des entiers tq si tu en enleves un, tu peux diviser les autres en 2 paquets de 7 de manières à ce que les sommes soient égales. La question est : les nombres ai sont-ils tous égaux? Si oui pourquoi ? Si non il faut trouver un exemple
Manhu

J'ai oublié : ce que tu proposes ne marche pas. Imagine par exemple que tous les paquets contiennent 10 grains sauf 2 : un de 8 et un de 12 grains. Si tu enlèves le paquets de 8 grains, tu n'as aucun moyen de séparer les 14 qui restent en 2 tas de 7 paquets ayant le meme nombre de grains. Il y aura un tas avec 7 paquets de 10 et un tas avec 6 paquets de 10 et un de 12
Manhu

moi je pense que Paul, comme tant d'autres, n'aurait pas dû acheter une nespresso...

Oui, Paul devrait remplir le questionnaire de présentation pour qu'on puisse l'aider au mieux.

Juste pour ne pas que vous vous preniez la tête, la réponse à mon problème est oui: tous les sacs doivent avoir le même nombre de grains.
En effet, on remarque que les nombres sont tous impairs ou tous pairs. Cela vient du fait qu'à chaque fois qu'on enlève un sac la somme qui reste doit être divisible par deux (puisqu'on doit séparer en 2 tas de sommes égales).
S'il y avait 2 sacs dont les nombres de grains sont de parité différente, on arriverait à une contradiction.
On remarque ensuite que si on enlève un grain dans chaque sac, on garde la même propriété. Donc on peut supposer que le sac qui a le moins de grains est vide. du coup, tous les sacs de grains ont un nombre pair de grains (puisque 0 est pair). Pour finir, on remarque qu'en divisant par deux le nombre de grains dans chaque paquet on garde la même propriété. On divisant suffisamment de fois par 2, si l'un des sacs n'est pas vide, il y a au moins un sac qui contient un nombre impair de grains. Contradiction. Tous les sacs doivent donc avoir le même nombre de grains.
Mais bon, je ne crois pas que ce pbl puisse être résolu par des collégiens (encore que, j'en connais un qui l'a fait en 4eme mais il était très bon)
Manhu

Excellent Manhu! Dommage que tu aies donné la réponse si vite, ça aurait occupé mon weekend!
Un autre plus facile: tu invites un copain à déguster des cafés. Tu as 15 paquets d'arabica et 15 paquets de robusta. Comme ça fait trop pour la nuit qui vient, tu proposes d'enlever la moitié des paquets. Pour choisir lesquels, on va mettre les paquets en cercle. En commençant à compter à partir d'un endroit déterminé, chaque neuvième paquet sera éliminé. La question est: "De quelle façon doit-on placer les paquets pour que ton copain, qui ne supporte pas l'amertume, ne boive que de l'arabica? ".
Pour ceux qui ne maîtriseraient pas les congruences, un petit dessin suffit...

Trop fort, mais laisse les autres chercher menfin!

Un autre pour la route (un peu) plus dur:
Manhu n'a presque plus de café. Tous les magasins sont fermés, tous les copains sont partis.
Comme il déprime, il fait des tas (encore!). Il sait qu'il lui reste entre 300 et 400 grains. Si il fait des tas de 17 grains, il lui en reste 9. Si il fait des tas de 5 grains, il lui en reste 3.
Combien a t-il de grains?  

Théoreme chinois Hi hi hi. Je donne le meme à mes étudiants en master avec un pirate qui partage un trésor. Du coup, je ne donne pas la solution (et j'ai enlevé la solution de l'autre)
Si t'en veux un pour le we:
je range mes paquets de cafés qui sont rectangulaires mais pas tous les mêmes. Ils ont juste la propriété d'avoir un de leurs côtés qui a un nombre entier de cm. Je fais un grand rectangle en empilant mes paquets. Il faut vérifier que le grand rectangle a aussi un côté qui a un nombre entier de cm.
Manhu
Edit: j'ai écrit un peu vite mon énoncé. Il était clairement faux. Celui-ci est le bon

On s'en fiche puisqu'il va quand-même les moudre

Ah non on ne s'en fiche pas du rangement ! Enfin, en tout cas, ma femme, elle, ne s'en fiche pas.

Il ne faut pas empiler les paquets de café car il faut toujours boire du café frais

je profite du sujet pour metre un lien vers un documentaire d'arte que j'ai maté hier soir, qui pourrais intéresser les matheux et les non-matheux comme bibi :
http://www.arte.tv/guide/fr/068432-000-A/comment-j-ai-deteste-les-maths

Argh ! quelqu'un a donné un coup de pied dans un nid de profs de maths ? et puis direct Bezout et les Anneaux en plus ...

Le coup du thm chinois, tu peux faire à la main! Par contre, mon dernier pbl...